Question

1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD垂直于过C点的⊙O的切线于点D．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果⊙O的半径为5，AC=8，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，利用切线的性质得到OC⊥CD，则可证明OC∥AD，根据平行线的性质得∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，再根据圆周角定理得∠ACB=90°，于是可判断Rt△ABC∽Rt△ACD；
（2）由于Rt△ABC∽Rt△ACD，则利用相似比可得$\frac{8}{10}$=$\frac{AD}{8}$，然后根据比例的性质可计算出AD．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OC=OA，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD；
（2）解：∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{8}{10}$=$\frac{AD}{8}$，
∴AD=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．