Question

4、试找出由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的七位数中，能被165整除的最大数和最小数（要求写出推理过程）．

Answer 1

分析：先把165分解成几个整数的积的形式，再判断出此7位数能被165整除的条件是排成的7位数只需能同时被11，5整除，据能被11整除的数的性质，设7位数奇位上的数字和为x，偶数位上的数字和为y，则
x-y是11的倍数而x-y与x+y的奇偶性相同，且x+y=21，求出x、y的值，再根据次数可被7整除则其末位数必为0或5，根据此条件将这一组数进行分类即可求解．

解答：解：∵165=3×5×11
∴此7位数必同时能被3，5，11整除，而0+1+2+3+4+5+6=21能被3整除，
∴排成的7位数只需能同时被11，5整除即可，
根据能被11整除的数的性质，设7位数奇位上的数字和为x，偶数位上的数字和为y，则
x-y是11的倍数而x-y与x+y的奇偶性相同，且x+y=21，
∴只有x-y=11或-11，即x=5，y=16或x=16，y=5
∵7位数能被5整除，
∴其末位数必为0或5，
当末位数必为0或5时，找不到4个数的和为5，
∴只有x=16，y=5，即该7位数的奇数位上的数字和为16，偶数位上的数字和为5，且其末位数必为5．
只有两组分法：
①、奇数位上的数字（1，4，6，5），偶数位上的数字（0，2，3）
②、奇数位上的数字（2，3，5，6）偶数位上的数字（0，1，4）
①中最大数和最小数分别为6342105和1042635；②中最大数和最小数分别为6431205和2031645
∴所求的最大数和最小数分别为6431205和1042635．
故答案为：6431205和1042635．

点评：本题考查的是数的整除性问题，熟知能同时被3、7、11整除的数的特点是解答此题的关键．