Question

14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，BD=AD，M是AB的中点，AE⊥AC于E，点P是ME的中点，连接DP，求证：BE⊥DP．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到DM⊥AB，由已知条件得到∠ACB=∠AMD=∠MED=90°，通过余角的性质得到∠A=∠DME，推出△ABC∽△ADM∽△MDE，根据相似三角形的性质得到DE：EM=BC：AC，由直角三角形的性质得到EP=$\frac{1}{2}$EM，证得△ECB∽△PED，得到∠CEB=∠EPD，即可得到结论．

解答 解：∵BD=AD，M是AB的中点，
∴DM⊥AB，
∵ME⊥AC于E，
∴∠ACB=∠AMD=∠MED=90°，
∴∠A+∠ADM=∠DME+∠ADM=90°，
∴∠A=∠DME，
∴△ABC∽△ADM∽△MDE，
∴DE：EM=BC：AC，
∵P是ME的中点，
∴EP=$\frac{1}{2}$EM，
∴DE：EP=DE：$\frac{1}{2}$EM=BC：$\frac{1}{2}$AC，
∴△ECB∽△PED，
∴∠CEB=∠EPD，
∵EM⊥AC，∴∠BEP+∠EPD=90°，
∴DP⊥BE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．