Question

6．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4$\sqrt{15}$，DE⊥AB于E．
（1）求DE的长．
（2）求证：AC=2OE．

Answer 1

分析 （1）连接BD，利用勾股定理求出BD的长，再利用三角形的面积公式求出DE的长；
（2）连接OD，作OF⊥AC于点F，首先根据垂径定理得到AC=2AF，进而证明AF=OE，于是得到结论．

解答 解：（1）连接BD．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-（4\sqrt{15}）^{2}}$
=4$\sqrt{10}$，
∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$AB•DE
∴AD•BD=AB•DE，
∴DE=$\frac{AD×BD}{AB}$=$\frac{4\sqrt{15}×4\sqrt{10}}{20}$=4$\sqrt{6}$，
即DE=4$\sqrt{6}$；
（2）证明：连接OD，作OF⊥AC于点F．
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．
又∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
Rt△OED和Rt△AFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BOD}\\{∠AFO=∠OED=90°}\\{OA=OD}\end{array}\right.$
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF=OE，
∵AC=2AF，
∴AC=2OE．

点评 本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质、勾股定理以及垂径定理的知识，解题的关键是正确作出辅助线，此题难度不大．