Question

如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点，已知A（-3，0）、B（1，0），过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？
（3）若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是

ADB

的中点时，求点F的坐标；
（4）在（3）的条件下，CN交x轴于点M，求CM•CN的值．

Answer 1

分析：（1）连PC，利用OC²=OA•OB，得OC=

3

，得C的坐标，利用CE是⊙P的切线，求E的坐标，
设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，可得直线CE的解析式；
（2）当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；
（3）先求得N（-1，-2）设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，
求直线NB的解析式．解两直线表达式组成的方程组，求交点坐标；
（4）连接AC、BC，点N是

ADB

的中点，易证△AMC∽△NBC．所以

MC

BC

=

AC

NC

，即MC•NC=BC•AC．分别求相关线段的长得解．

解答：解：（1）连PC．
∵A（-3，0），B（1，0），
∴⊙P的直径是4，
∴半径R=2，OP=1．
又∵CD⊥AB，AB是直径，
∴OC²=OA•OB=3×1=3，
∴OC=

3

．
∴C（0，

3

）．                                           （1分）
又∵⊙P的半径是2，OP=1，
∴∠PCO=30°．
又CE是⊙P的切线，
∴PC⊥CE．
∴∠PEC=30°．
∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．
∴E（3，0）．                                             （2分）
设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，
得

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

．
∴直线CE的解析式为y=-

3

3

x+

3

①；（4分）

（2）∵m=1时，直线FB与⊙P相切，∴m≠1．
∵E（3，0），
∴当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；（6分）

（3）解法一：∵点N是

ADB

的中点，
∴N（-1，-2）．
设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，
得

k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=1 b=-1

．
∴直线NB的解析式为y=x-1 ②．
由①，②式得

y=x-1 y=- 3 3 x+ 3

，解得

x= 3 y= 3 -1

．
∴F（

3

，

3

-1）．                                       （10分）
解法二：过点F作FH⊥BE于H，
∵N是

ADB

的中点，
则∠ABN=∠FBE=45°，
∴∠BFH=45°，∴BH=FH．
由（1）知∠CEP=30°，
∴HE=

3

FH．
∵OE=OB+BH+HE，
∴1+FH+

3

FH=3，FH=

3

-1，
∴OH=OB+BH=1+（

3

-1）=

3

．
∴F（

3

，

3

-1）；

（4）连接AC、BC．
∵点N是

ADB

的中点，
∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，
∴△AMC∽△NBC．
∴

MC

BC

=

AC

NC

，
∴MC•NC=BC•AC．
∵OA=OE=3，
∴△ACE为等腰三角形．
∴AC=CE=

OC

sin∠CEO

=

3

sin30°

=2

3

，BC=

OC2+OB2

=2．
∴MC•NC=BC•AC=4

3

．                                      （14分）

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．