Question

2．把一副三角板按如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙）．这时AB与CD₁相交于点O、与D₁E₁相交于点F．
（1）求线段AD₁的长；
（2）若把三角形D₁CE₁绕着点C顺时针再旋转30°得△D₂CE₂，这时点B在△D₂CE₂的内部、外部、还是边上？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质求出AO=CO=$\frac{1}{2}$AB，再求出OD₁，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）设直线CB与D₂E₂相交于P，然后判断出△CPE₂是等腰直角三角形，再求出CP，然后与CB相比较即可得解．

解答 解：（1）∵旋转角为15°，
∴∠OCB=60°-15°=45°，
∴∠COB=180°-45°-45°=90°，
∴CD₁⊥AB，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴OD₁=DC-CO=7-3=4，
在Rt△AD₁O中，由勾股定理得，AD₁=$\sqrt{A{O}^{2}+O{{D}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）点B在△D₂CE₂的内部．
理由如下：设直线CB与D₂E₂相交于P，
∵△DCE绕着点C顺时针再旋转45°，
∴∠PCE₂=15°+30°=45°，
∴△CPE₂是等腰直角三角形，
∴CP=$\sqrt{2}$CE₂=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵AB=6，
∴CB=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$＜$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，即CB＜CP，
∴点B在△D₂CE₂的内部．

点评 本题考查的是勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．