Question

如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点．
（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线性质可得∠DEF=∠G，即可证明△AFG≌△DFE，即可解题；
（2）①易证∠CBE=∠CEB，根据∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°即可解题；
②易证∠ABF=∠G，即可求得∠G大小，再根据△AGF≌△DEF可得DE=AB，即可证明△ABC≌△DEC，可得AC=CD，∠BAC=∠EDC，即可求得∠ACD=∠BAC=30°，进而可以求得∠CAD的值，即可解题．

解答：（1）证明：∵AG∥DE，
∴∠G=∠DEF，
∵△AGF和△DEF中，

∠G=∠DEF ∠AFG=∠DFE AF=DF

，
∴△AGF≌△DEF，（AAS）
（2）①证明：∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，
∴∠ABF=∠DEF；
②∵△AGF≌△DEF，
∴∠G=∠DEF，
∵∠ABF=∠DEF，
∴∠ABF=∠G，
∴AG=AB，
∵△AGF≌△DEF，
∴AG=DE，
∴DE=AB，
∵△ABC和△DEC中，

AB=DE ∠ABC=∠DEC BC=CE

，
∴△ABC≌△DEC，（SAS）
∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，
∵AC∥DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，
∴∠G=15°，
∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AGF≌△DEF和△ABC≌△DEC是解题的关键．