Question

10．如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，当∠EOD=30°时，CE的长是$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的边长为4，∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴AO=$\sqrt{A{D}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AE=CF=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵菱形的边长为4，∠BAD=60°，
∴高EF=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CEF中，CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
故答案为：$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．