Question

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是边AC上的一点，且AE=AB，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形BDEF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：根据AD是∠BAC的平分线，得出∠CAD=∠DAE，在△ABD和△ADE中，根据全等三角形的判定得出△ABD≌△ADE和△BAF≌△EAF，得出BD=DE，BF=EF，在△BFD和△EDF中，再根据SSS得出△BFD≌△EDF，得出∠BFD=∠DFE，根据EF∥BC，得出∠DFE=∠FDC，从而得出∠BFD=∠BDF，即可得出BF=BD，从而得出四边形BDEF是菱形．

解答：解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAE，
在△ABD和△ADE中，

AE=AB ∠CAD=∠DAE AD=AD

，
∴△ABD≌△ADE，
∴BD=DE，
同理△BAF≌△EAF，
∴BF=EF，
在△BFD和△EDF中，

BD=DE DF=DF BF=EF

，
∴△BFD≌△EDF，
∴∠BFD=∠DFE，
又∵EF∥BC，
∴∠DFE=∠FDC，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BF=BD，
∴BF=BD=EF=DE，
∴四边形BDEF是菱形．

点评：此题考查了菱形的判定，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与菱形的判定，判定菱形的方法常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．