题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交X轴于点A，与y轴交于点B，过点B与AB垂直的直线交x轴于点D，点C为AD的中点，连接BC．
（1）求直线BC的解析式．
（2）点E（t，0）为线段CD上的一点（不与C、D两点重合），过点E作EP∥BC，交直线BD于点P，过点P作PQ∥x轴，交直线AB于点Q，交BC于点M，设线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t值，使得△PCM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据直线y=2x+4求得A、B的坐标，进而求得直线BD的解析式，从而求得D的坐标，根据已知求得C的坐标，然后应用待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（2）根据EP∥BC，求得
DE
CE
=
PD
PB
，
PB
BD
=
8-t
5
，根据PQ∥x轴，求得
PQ
AD
=
PB
BD
=
8-t
5
，因为AD=10，即可求得d与t之间的函数关系式；
（3）分两种情况讨论即可求得．
解答：解：（1）∵直线y=2x+4交X轴于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（（0，4），
∵AB⊥BD，
∴直线BD为：y=-
1
2
x+4，
∴D（8，0），
∵点C为AD的中点，
∴C（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则
4=b
o=3k+b
，
解得
k=-
4
3
b=4
．
∴直线BC的解析式为：y=-
4
3
x+4；

（2）如图1，∵EP∥BC，
∴
DE
CE
=
PD
PB
，
即
8-t
t-3
=
PD
PB
，
∴
PB
BD
=
8-t
5
，
∵PQ∥x轴，
∴
PQ
AD
=
PB
BD
=
8-t
5
，
∵AD=10，PQ=d，
∴d=-2t+16（3＜t＜8）；

（3）存在；
如图2，当∠CPM=90°时，∵PQ∥AD，
∴PC⊥AD，
∴PC∥OB，
∴
BP
PD
=
OC
CD
=
3
5
，
∴
BP
BD
=
3
8
，
∵
PQ
AD
=
BP
BD
，
∴
d
10
=
3
5
，解得：d=6，
代入d=-2t+16，得6=-2t+16，解得t=5，
如图3，当∠PCM=90°时，则∠PCE+∠BCO=90°，
∴△PCE∽△OBC，
∴
PE
OC
=
CE
BC
，
∵BC=
OB2+OC2
=
32+42
=5，CE=t-3，OC=3，
∴PE=
3t-9
5
，
∵PE∥BC，
∴
ED
CD
=
PE
BC
，
∴
8-t
5
=
3t-9
5
5
，解得：t=
49
8
；
所以当t=5或
49
8
时，使得△PCM是直角三角形．
点评：本题考查了直线与坐标轴的交点的求法，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理的应用，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，本题的关键是（3）一定要考虑全面；
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