题目内容
15．
如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；
（2）写出三角形APD的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）当点P在运动中，试求出使AP长为$\sqrt{10}$时运动时间t的值；
（4）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用因式分解法解出方程即可；
（2）需要分类讨论：点P在AB边、在BC边和在对角线AC上三种情况；
（3）根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（4）分PC=CD、PD=PC、PD=CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．
解答 
解：（1）∵x2-7x+12=0，
则（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3，x2=4．
∵AB＜BC，
∴AB=3，BC=4；
（2）如答图1，当点P在边AB上时，S=$\frac{1}{2}$AD•AP=$\frac{1}{2}$×4t=2t（0＜t≤4）；
如答图2，当点P在边BC上时，S=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×4×3=6（4＜t≤7）；
如答图3，当点P在对角线AC上时，由勾股定理得到AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
S=$\frac{1}{2}$AD•APsin∠DAC=$\frac{1}{2}$×4×（t-7）×$\frac{3}{5}$=$\frac{6t}{5}$-$\frac{42}{5}$．（7＜t≤12）；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2t（0＜t≤4）}\\{6（4＜t≤7）}\\{\frac{6t}{5}-\frac{42}{5}（7＜t≤12）}\end{array}\right.$；
（3）由题意得$\sqrt{{3}^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴t1=4，t2=2（舍去），
则t=4时，AP=$\sqrt{10}$；
（4）存在点P，使△CDP是等腰三角形，
①当PC=CD=3时，t=（3+4+3）÷1=10（秒）；
②当PD=PC（即P为对角线AC中点）时，AB=3，BC=4．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，CP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴t=（3+4+2.5）÷1=9.5（秒）；
③当PD=CD=3时，作DQ⊥AC于Q，
DQ=$\frac{\frac{1}{2}×3×4}{\frac{1}{2}×5}$=$\frac{12}{5}$，PQ=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴PC=2PQ=$\frac{18}{5}$，
∴t=$\frac{3+4+\frac{18}{5}}{1}$（秒），
可知当t为10秒或9.5秒或$\frac{53}{5}$秒时，△CDP是等腰三角形．
点评 本题考查了四边形综合题．需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理列出算式是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
阅读快车系列答案
| A． | 只有符号不同的两个数互为相反数 | B． | 有理数分为正有理数和负有理数 | ||
| C． | 两数相加，和一定大于任何一数 | D． | 零是自然数，但不是有理数 |
已知：如图，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．