Question

1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=a（x+1）（x-3）的图象从左到右依次交x轴于点A、B，交y轴于点C，该函数的最大值为4．
（1）求a的值；
（2）点P在第一象限内的图象上，其横坐标为t，AP交y轴的正半轴于点D，点Q在射线BA上，BQ=OA+2OD，设点Q的横坐标为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点E在y轴的负半轴上，OE=2OA，直线EQ交直线PC于点F，求t为何值时，FC=FQ．

Answer 1

分析 （1）先确定出顶点坐标，再用待定系数法求出函数解析式；
（2）先确定出直线AP的解析式，求出点Q的坐标，再确定出BQ解析式即可；
（3）先判断出△FMC≌△FNQ，再求出CP解析式，最后分点Q在原点左侧和右侧两种情况计算即可．

解答 解（1）抛物线y=a（x+1）（x-3）的图象从左到右依次交x轴于点A、B，
当y=0时，解得x=-1或x=3
∴A（-1，0），B（3，0）
∴抛物线的对称轴为直线x=1
∵函数的最大值为4
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）
∴（1+1）（1-3）a=4
∴a=-1
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
（2）∵P（t，-（t+1）（t-3）），A（-1，0）
∴直线AP的解析式为y=（3-t）x+3-t
∴D（0，3-t）
∴OD=3-t，OA=1，
∴BQ=OA+2OD=1+2（3-t）=7-2t
∴d=3-（7-2t）=2t-4
（0＜t＜3）
（3）如图2，

过P作PG⊥y轴于点G
∴G（0，-t²+2t+3），
∴CG=t²-2t，PG=t，
∴tan∠PCG=t-2
∵OE=2OA=2，
∴E（0，-2），
∴tan∠EQO=$\frac{2t-4}{2}$=t-2=tan∠PCG
∴∠EQO=∠PCG，
∴∠FQN=∠EQO=∠PCG
过F作FM⊥y轴于点M，FN⊥x轴于点N，
∴∠FMC=∠FNQ=90°
∵FC=FQ，
∴△FMC≌△FNQ
∴FM=FN
∵C（0，3），P（t，-（t+1）（t-3））
∴CP的解析式为y=（2-t）x+3
当点Q在点O右侧时，
设F（m，m），
∴3-m=m-（2t-4）
∴m=$\frac{2t-1}{2}$，
∴$\frac{2t-1}{2}$×（2-t）+3=$\frac{2t-1}{2}$
解得t=-1（舍）或t=$\frac{5}{2}$
当点Q在O点左侧时，
设F（-n，n），3-n=2t-4+n
∴n=$\frac{7-2t}{2}$，
∴$\frac{7-2t}{2}$×（2-t）+3=$\frac{7-2t}{2}$
∴t=5（舍）或t=$\frac{3}{2}$
∴t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{5}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角函数，解本题的关键是用三角函数确定线段，作辅助线是解本题的难点．