Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC=2，P是线段OA中点，连接PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连接DF交AB于点G，则PE的长为________．

Answer 1

分析：由AB是⊙O的直径，AB=4，BC=2，P是线段OA中点，CE是⊙O的切线，可求得BP与PC的长，易证得△PBC∽△EBP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得PE的长．
解答：∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴OA=OB=AB=2，
∵P是线段OA中点，
∴OP=OA=1，
∴BP=OB+OP=3，
∵CE是⊙O的切线，
∴AB⊥CE，
∵BC=2，
在Rt△BCP中，BP==，
∵CP⊥EP，
∴∠BCP+∠BPE=90°，
∵∠E+∠BPE=90°，
∴∠BCP=∠E，
∵∠PBC=∠EBP=90°，
∴△PBC∽△EBP，
∴BC：BP=PC：PE，
∴PE==．
故答案为：．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．