Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB边上的动点，点D从点A出发，沿边AB往B运动，当运动到点B时停止，包括A、B两端点．若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t=

 

时，线段CD平分△ABC的面积．
（2）当t为何值时，△ACD是直角三角形？并说明理由．
（3）求当t=

 

时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形？（请直接写出答案）

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论；
（2）分∠ACD=90°与∠ADC=90°两种情况进行讨论；
（3）分AC=AD与AC=CD两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5．
∵三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，
∴当点D在AB的中点时，线段CD平分△ABC的面积．
∵点D运动的速度为每秒1个单位长度，
∴t=

1

2

AB=2.5．
故答案为：2.5；

（2）①当∠ACD=90°时，即点B运动到点B．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5，
∴AD=AB=5，即当t=5时，△ACD是直角三角形；
②当∠ADC=90°时，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴CD=

3×4

5

=

12

5

．
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=

9- 144 25

=

9

5

，即当t=

9

5

时，△ACD是直角三角形．
综上所述，当t=5或t=

9

5

时，△ACD是直角三角形．

（3）①当AC=AD时，
∵AC=3，
∴t=3时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形；
②当AC=CD时，过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cos∠A=

AC

AB

=

AE

AC

，即

3

5

=

AE

3

，解得AE=

9

5

．
∵AC=CD，
∴AD=2AE=

18

5

，即t=

18

5

．
综上所述，当t=3或t=

18

5

时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形．
故答案为：3或

18

5

．

点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．