Question

3．等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠ADB=45°，E是AC上一点，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠BAC=90°．

Answer 1

分析 如图，过点A作AG⊥AD交BD于G，AM⊥BD于M，AN⊥CD于N，先证明△AGM≌△ADN，再证明△ABM≌△ACN，得到∠ABM=∠ACN，再根据：“8字型″可以证明∠BAE=90°

解答 证明：如图，过点A作AG⊥AD交BD于G，AM⊥BD于M，AN⊥CD于N．

∵∠ADG=45°，∠GAD=90°，
∴∠AGD=∠ADG=45°，
∴AG=AD，
∵BD⊥CD，
∴∠BDN=∠BDC=90°，
∴∠ADN=45°，
∴∠AGM=∠ADN，
在△AGM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMG=∠N=90°}\\{∠AGM=∠ADN}\\{AG=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGM≌△ADN，
∴AM=AN，
在Rt△ABM和Rt△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠ABM=∠ACN，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠BAE=∠CDE=90°，
∴∠BAC=90°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用“8字型″证明角相等，属于中考常考题型．