Question

10．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm．BC=2cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D₁B₁C₁，连接AC₁，BD₁．如果四边形ABD₁C₁是矩形，那么平移的距离为7cm．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质和矩形的性质求得∠BAE=∠AC₁B，∠AEB=∠BAC₁=90°，从而证得△ABE∽△C₁BA，根据相似三角形对应边成比例求得BC₁=9，即可求得平移的距离即可．

解答 解：作AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AEC₁=90°，
∴∠BAE+∠ABC=90°
∵AB=AC，BC=2，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵四边形ABD₁C₁是矩形，
∴∠BAC₁=90°，
∴∠ABC+∠AC₁B=90°，
∴∠BAE=∠AC₁B，
∴△ABE∽△C₁BA，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{AB}{B{C}_{1}}$
∵AB=3，BE=1，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{B{C}_{1}}$，
∴BC₁=9，
∴CC₁=BC₁-BC=9-2=7；
即平移的距离为7．
故答案为7．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．