Question

4．已知二次函数y=ax²的图象与直线y=x+2交于点（2，m）．
（1）判断y=ax²的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；
（2）设直线y=x+2与抛物线y=ax²的交点分别为A、B，如图所示，试确定A、B两点的坐标；
（3）连接OA，OB，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先把点（2，m）代入y=x+2求出m，则确定交点坐标，然后把代入y=ax²得a的值；得出二次函数解析式为，根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴；以及当x＞0时，y随x的增大而变化的情况；
（2）两个函数联立方程求得方程的解，得出A、B两点的坐标；
（3）得出y=x+2与y轴交点的坐标，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）把点（2，m）代入y=x+2，解得m=4，
所以交点坐标为（2，4），
把（2，4）代入y=ax²得a=1；
二次函数解析式为y=x²，
所以抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
当x＞0时，y随x的增大而增大；
（2）由题意得x²=x+2，解得x=2或x=-1，则y=4或y=1；
A点坐标为（2，4），B点坐标为（-1，1）；
（3）y=x+2与y轴交点的坐标为（0，2）
△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3．

点评 此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标是解决问题的根本．