Question

如图，在△ACH中，△ACB、△BDE和△DGF都是等边三角形，且点E、G在△ACH边CH上，设等边△ABC、△BDE、△DGF的面积分别为S₁、S₂、S₃，若S₁=9，S₃=1，则S₂=（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：先设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等边三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，结合平角定义可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG=60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等边三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，从而有BE∥DG，于是∠CEB=∠EDG，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例关系：a：b=b：c，即b²=ac，再根据S₁：S₃=（

a

c

）²=9：1，即可求得a：c，又由S₁：S₂=（

a

b

）²=

a2

b2

=

a2

ac

=

a

c

，即可求得答案．

解答：解：设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，如右图，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
同理∠EDG=60°，
∴∠CBE=∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD=∠GDF=60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB=∠EDG，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b=b：c，
∴b²=ac，
∵S₁：S₃=（

a

c

）²=9：1，
∴a：c=3：1，
∵S₁：S₂=（

a

b

）²=

a2

b2

=

a2

ac

=

a

c

=3：1．
∴S₂=

1

3

S₁=3．
故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．