Question

10．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．

Answer 1

分析 求证△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．

解答 证明：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
在三角形ACF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{AC=BC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BCF（SSS），
∴∠ACF=∠BCF
∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），
即CG垂直平分AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质．