Question

9．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且∠CDB=45°，∠DAB=67.5°，写出图中除△ABC外的所有等腰三角形并予以证明．

Answer 1

分析 等腰三角形有：△DAE，△EBC，△DBC；由∠CDB=∠BAC，得到点D，A，B，C四点共圆，得到相等的角，利用三角形的内角和为180°，证明三角形中两个角相等，即可判定等腰三角形．

解答 解：等腰三角形有：△DAE，△EBC，△DBC；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CDB=45°，
∴∠CDB=∠BAC，
∴点D，A，B，C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∵∠DAB=67.5°，
∴在△DAE中，∠DEA=180°-∠ADC-∠DAB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DEA=∠DAE，
∴△DAE为等腰三角形；
∵∠BEC=∠DEA=67.5°（对顶角相等），∠BCE=∠DAB=67.5°（圆周角相等），
∴∠BEC=∠BCE，
∴△EBC为等腰三角形；
在△DBC中，∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DBC=∠BCD，
∴△DBC为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到点D，A，B，C四点共圆，得到相等的角．