Question

如图，P是正方形ABCD内一点，连结PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求线段PC的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：连结PP′，根据正方形的性质得∠ABC=90°，BA=BC，再根据旋转的性质得到BP′=BP=4，P′C=PA=2，∠P′BP=∠ABC=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，原式可判断△BPP′为等腰直角三角形，所以PP′=

2

PB=4

2

，∠1=45°，同时可计算出∠2=∠BP′C-∠1=90°，然后在Rt△CPP′中利用勾股定理计算PC即可．

解答：解：连结PP′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，BA=BC，
∵△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，
∴BP′=BP=4，P′C=PA=2，∠P′BP=∠ABC=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PB=4

2

，∠1=45°，
∴∠2=∠BP′C-∠1=135°-45°=90°，
∴△CPP′为直角三角形，
∴PC=

PP′2+CP′2

=

(4 2 )2+22

=6．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．