Question

13．在△ABC中，已知三边长分别为a、b、c，且∠C=2∠A=4∠B，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 延长BC至点D，使CD=AC=b分别利用相似三角形的性质得到c²-a²=ab、a²-b²=bc、c²-b²=ac，从而证得ab+bc=ac，得到所求证结论即可．

解答 解：延长BC至点D，使CD=AC=b，则有：∠D=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠ACB=∠BAC，
∴△BAC∽△BDA，
∴AB²=BC•BD，
∴c²=a（a+b），得：c²-a²=ab，
延长CA至点E，使AE=AB=c，同理可得：BC²=CA•CE，
∴a²=b（b+c），得a²-b²=bc，
在AB上截取BF=BC=a，则：
∠BCF=∠BFC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=3∠B，
∴∠ACF∽△ABC，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AB-BF}{b}$=$\frac{c-a}{b}$，
∴c²-b²=ac，
∴ab+bc=ac，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够正确的作出辅助线，从而构造相似的三角形，本题的难点也在于构造相似三角形．