Question

6．△ABC和△ECD都是等边三角形，且B，C，D在同一条直线上
（1）求证：AD=BE；
（2）求证：CF=CG；
（3）求∠BHD的大小．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明△BCE≌△ACD，得出对应边相等即可；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAG，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACG进而得出△BCF≌△ACG因此CF=CG．
（4）由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AHB=∠BCA=60°，即可求出结果．

解答 （1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2）证明：∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACG=60°．
∴∠BCF=∠ACG，
在△BCF和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCF=∠ACG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CF=CG；
（3）解：∵∠CBF=∠CAH，∠AFH=∠BFC，
∴∠AHB=∠BCA=60°，
∴∠BHD=120°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．