Question

如图，在计算机屏幕上有一梯形ABCD，AB∥CD，A在坐标原点，B（15，0），C（12.3），D（6，3），MN是垂直于x轴的一条直线，MN与梯形的边交于P，Q两点．当MN从y轴向右移动时．梯形中被MN扫过的部分将改变颜色．设AQ=x，颜色改变部分的面积为S，求以x为自变量S的函数关系式．

Answer 1

分析：过D作DE⊥AB于E，画出符合的四种情况，根据A、B、C、D的坐标求出PQ的值，根据面积公式求出即可．

解答：解：过D作DE⊥AB于E，分为三种情况：
①如图1，当P在AD上时，此时0≤x≤6，
∵D（6，3），
∴OE=6，DE=3，
∵MN⊥AB．DE⊥AB，
∴PQ∥DE，
∴△AQP∽△AED，
∴

AQ

AE

=

PQ

DE

，
∴

x

6

=

PQ

3

，
PQ=

1

2

x，
∴S=S_△APQ=

1

2

×AQ×PQ=

1

2

•x•

1

2

x=

1

4

x²；

②如图2，P在DC上，此时6＜x≤12，
DP=EQ=x-6，PQ=DE=3，AQ=x，
S=S_{四边形ADPQ}=

1

2

×（DP+AQ）×PQ=

1

2

•（x-6+x）•3=3x-9；

③如图3，P在BC上，此时12＜x＜15，
过C作CF⊥AB于F
则PQ∥CF，
∵B（15，0），C（12.3），D（6，3），
∴CF=3，BA=15，BQ=15-x，BF=15-12，DC=12-6=6，
∵CF∥PQ，
∴△PQB∽△CFB，
∴

PQ

CF

=

BQ

BF

，
∴

PQ

3

=

15-x

15-12

，
PQ=15-x，
∴S=S_{五边形ADCPQ}
=S_梯形ABCD-S_△BPQ
=

1

2

×（DC+AB）×CF-

1

2

×BQ×PQ
=

1

2

×（6+15）×3-

1

2

•（15-x）•（15-x）
=-

1

2

x²+15x-81，
④当x≥15时，S=S_梯形ABCD=

1

2

×（6+15）×3=31.5；
综合上述，S=

1 4 x2(0≤x≤6) 3x-9(6＜x≤12) - 1 2 x2+15x-81(12＜x＜15) 31.5(x≥15)

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和分段函数，关键是求出符合条件的所有情况，用了分类讨论思想．