Question

6．如图，P是正方形ABCD对角线AC上的任意一点，∠BPE=∠BCF，点E在BC上，判断PB与PE的关系，并加以证明．

Answer 1

分析 PB=PE，连接PD，由四边形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，证得△BAP≌△DAP，得到PB=PD，∠PBC=∠PDC，再证明∠PDC=∠PED，等角对等边得到PE=PD，所以PB=PE．

解答 解：PB=PE，
如图，连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△BAP和△DAP中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠BPE=∠BCF，
∴∠BPE=90°，
∵四边形PBCE的内角和为360°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDC=∠PED，
∴PE=PD，
∴PB=PE．

点评 本题主要考查了正方形，全等三角形的判定，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．