Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D、点E，连接BD．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若BE平分∠DBC，CE=3，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，推出∠CAD=∠BCE，根据AAS即可证明．
（2）首先证明BC=BD，EC=ED=AD=3，利用勾股定理求出AC，再根据S_△ADB=S_△ADC+S_△BDC-S_△ACB计算即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥CD，BE⊥CD，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE．

（2）解：∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠BED=90°，
∵∠EBC=∠EBD，∠EBC+∠BCE=90°，∠EBC+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，EC=ED=3，
∵△ACD≌△CBE，
∴AD=EC=3，EB=CD=6，
∴AC=BC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△ADB=S_△ADC+S_△BDC-S_△ACB=$\frac{1}{2}$×3×6+$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{5}$×3$\sqrt{5}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查全等三角形平的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．