Question

1．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：$\frac{1}{2}$-（1+$\frac{-1}{2}$）；
第2个数：$\frac{1}{3}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$]；
第3个数：$\frac{1}{4}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$]•[1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$][1+$\frac{（-1）^{5}}{6}$]；
…
第n个数：$\frac{1}{n+1}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$]•[1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$]…[1+$\frac{（-1）^{2n-1}}{2n}$]
那么第10个数、第11个数，第n个数分别是多少？

Answer 1

分析 先将第n个数化简，再将n=10和n=11分别代入计算第10个数、第11个数即可．

解答 解：第n个数：$\frac{1}{n+1}$-（1+$\frac{-1}{2}$）[1+$\frac{（-1）^{2}}{3}$][1+$\frac{（-1）^{3}}{4}$]•[1+$\frac{（-1）^{4}}{5}$]…[1+$\frac{（-1）^{2n-1}}{2n}$]，
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{6}{5}$×$\frac{5}{6}$×…×$\frac{2n}{2n-1}$×$\frac{2n-1}{2n}$，
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2}$，
∴第10个数是：$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{9}{22}$，
第11个数是：$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{12}$，
则：第10个数是-$\frac{9}{22}$、第11个数是-$\frac{5}{12}$，第n个数是$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题是数字类的变化规律题，主要考查了根据规律求解问题，可以将通式化简到最简情况，作为公式代入计算．