Question

2．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-2x-6$\sqrt{2}$与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4$\sqrt{2}$，AE与y轴交F．
（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；
（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2$\sqrt{2}$，a），N（2$\sqrt{2}$，a+$\sqrt{2}$），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；
（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2$\sqrt{10}$个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤$\frac{4}{5}$）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的$\frac{1}{2}$时对应的t值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法或公式法求顶点坐标，求出最小AE即可求出点F坐标．
（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′=$\sqrt{2}$，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．
（3）分两种情形①PG∥FB时；②如图3中，PG′=PG=2$\sqrt{2}$，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．分别求解即可．

解答 解：（1）∵y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-2x-6$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-2$\sqrt{2}$）²-8$\sqrt{2}$，
∴顶点D坐标（2$\sqrt{2}$，-8$\sqrt{2}$），
由题意E（4$\sqrt{2}$，-8$\sqrt{2}$），A（-2$\sqrt{2}$，0），B（6$\sqrt{2}$，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}k+b=0}\\{4\sqrt{2}k+b=-8\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AE解析式为y=-x-2$\sqrt{2}$，
∴点F坐标（0，-2$\sqrt{2}$）．

（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′=$\sqrt{2}$，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．

∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5$\sqrt{2}$+CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（两点之间线段最短），
∴此时四边形CMNF的周长最小．
∵C′F=3$\sqrt{2}$
∴GN=$\frac{1}{2}$C′F=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴-（a+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴a=-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵C′F′=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴四边形CMNF的周长最小值=5$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=10$\sqrt{2}$．

（3）如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．

由题意可知BD=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（8\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{10}$，DQ=2$\sqrt{10}$t，
∵S_△PQG=$\frac{1}{2}$S_△DPQ=$\frac{1}{2}$S_△PD′Q，
∴PG=$\frac{1}{2}$PD′=$\frac{1}{2}$PD=2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$BF，
情形①PG∥FB时，∵PF=PD，
∴BG=GD，
∴PG=$\frac{1}{2}$BF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△QHD中，sin∠HDQ=$\sqrt{5}$，DQ=2$\sqrt{10}$t，
∴HQ=2$\sqrt{2}$t，HD=4$\sqrt{2}$t，
∵∠QPD′=∠QPD=45°，
∴PH=HQ=2$\sqrt{2}$t，
∴PH+HD=PD，
∴6$\sqrt{2}$t=4$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{2}{3}$．
情形②如图3中，PG′=PG=2$\sqrt{2}$，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．

由sin∠PDG=sin∠GPM=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{MG}{PG}$，
∴MG′=MG=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
∴G′D=BD-GG′=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∵$\frac{{S}_{△PQD}}{{S}_{△PQG′}}$=$\frac{DQ}{QG′}$=$\frac{\frac{1}{2}•PD•QK}{\frac{1}{2}•PG′•QJ}$，
∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，
∴QK=QJ，
∴$\frac{DQ}{QG′}$=$\frac{PD}{PG′}$=2，
∴QD=$\frac{2}{3}$×$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴t=$\frac{QD}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2}{5}$，
综上所述t=$\frac{2}{5}$ 或$\frac{2}{3}$秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、锐角三角函数、角平分线性质定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会添加常用辅助线，学会利用面积法得到线段之间关系，学会利用对称解决最小值问题，属于中考压轴题．