Question

（2013•宁德）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．
如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”
（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；
（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=

18

x

上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用和谐点的定义直接判断得出即可；
（2）利用和谐点的定义，得出18=2|x+

18

x

|，进而求出即可．

解答：解：（1）根据在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”，
∵点E（2，3），2×（2+3）=10，2×3=6，
∴10≠6，
∴E点不是“和谐点”，
∵点F（4，4），2×（4+4）=16，4×4=16，
∴16=16，
∴F点是“和谐点”；

（2）设P点坐标为：（x，

18

x

），由题意得出：18=2|x+

18

x

|，
当18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²-9x+18=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
当-18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²+9x+18=0，
解得：x₃=-3，x₄=-6，
∴P点坐标为：（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）．

点评：此题主要考查了新定义以及反比例函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据定义得出正确信息是解题关键．