Question

如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠ADC的度数为

 

度．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：延长BA和BC，过D点做DE⊥BA于E点，过D店做DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点做DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=54°，再根据∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA即可得出结论．

解答： 解：延长BA和BC，过D点做DE⊥BA于E点，过D店做DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
∴

∠ABD=∠CBD BD=BD ∠AED=∠DFC

∴△BDE≌△BDF
∴DE=DF，
又∵∠BAD+∠CAD=180°
∠BAD+∠EAD=180°
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
过D点做DG⊥AC于G点，
在△ADE与△ADG中，
∵

∠EAD=∠GAD AD=AD DE=DG

，
∴△ADE≌△ADG，
∴DE=DG，
∴DG=DF．
在△CDG与△CDF中，
∵

CD=CD DG=GF ∠DGC=∠DFC=90°

∴△CDG≌△CDF
∴CD为∠ACF的平分线
∠ACB=72°
∴∠DCA=54°，
△ABC中，
∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=180°-72°-50°=58°，
∴∠DAC=

180°-58°

2

=61°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=180°-61°-54°=65°．
故答案为：65．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°，全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．