Question

15．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）是否存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由二次函数图象上点的坐标特征可找出点B的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，0）（0≤m≤3），点M的坐标为（m，-m²+2m+3），点N的坐标为（m，-m+3），由此即可得出MN=-m²+3m，利用配方法即可求出线段MN的最大值；
（3）根据平行四边形的性质可得出MN=OC，分m＜0或m＞3以及0≤m≤3两种情况，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）将A（-1，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）当y=-x²+2x+3=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
设点P的坐标为（m，0）（0≤m≤3），点M的坐标为（m，-m²+2m+3），点N的坐标为（m，-m+3），
∴MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$，线段MN取最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．

（3）∵MN∥CO，
∴当MN=CO时，以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
∵点O（0，0）、C（0，3），
∴OC=3，
∴|-m²+3m|=3，
当m＜0或m＞3时，有m²-3m=3，
解得：m₁=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，m₂=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$；
当0≤m≤3时，有-m²+3m=3，
∵△=（-3）²-4×1×3=-3＜0，
∴此时方程无解．
综上所述：存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值为$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用配方法求出线段MN的最大值；（3）分m＜0或m＞3以及0≤m≤3两种情况，找出关于m的一元二次方程．