Question

6．如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC²=AB•AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．
（1）如图2，若四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且∠DCB=∠DAB，则∠DAB=120°．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；
（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长？

Answer 1

分析 （1）由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度数；
（2）由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形内角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，证明△ADC∽△ACB．得出对应边成比例，得出AC²=AB•AD，即可得出结论；
（3）由已知得出AC²=AB•AD，∠DAC=∠CAB，证出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的长．

解答 （1）解：如图所示：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵AC²=AB•AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D=∠4，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，
∵∠1+∠D+∠4=180°，
∴∠1+2∠1=180°，
解得：∠1=60°，
∴∠DAB=120°；
故答案为：120；
（2）证明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠D+∠ACD=180°-30°=150°，
∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，
∴∠D=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB．
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD，
∴四边形ABCD为“可分四边形”；
（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，
∴AC²=AB•AD，∠DAC=∠CAB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{{4}^{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键，