如图1.已知△ABC是等腰直角三角形.∠BAC=90°.点M是BC的中点.作正方形MNPQ.使点A.C分别在MQ和MN上.连接AN.BQ．(1)直接写出线段AN和BQ的数量关系是BQ=AN．(2)将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ①判断(1)的结论是否成立?请利用图2证明你的结论,②若BC=MN=6.当θ为何值时.AN取得最大值.请画出此时的图形.并直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ．
（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是BQ=AN．
（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ（0°＜θ≤360°）
①判断（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=MN=6，当θ（0°＜θ≤360°）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值．

分析（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质，得出△AMN≌△BMQ，即可得出结论；
（2）①如图2，连接AM，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质，可以得出△AMN≌△BMQ，即可得出结论；②由①可知BG=AE，当BQ取得最大值时，AN取得最大值，由勾股定理即可得出结论．

解答解：（1）BQ=AN．
理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，BM=AM，
∴∠AMB=∠AMC=90°．
∵四边形PQMN是正方形，
∴QM=NM．
在△QMB和△NMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AM}\\{∠QMB=∠AMN}\\{QM=NM}\end{array}\right.$，
∴△QMB≌△NMA（SAS），
∴BQ=AN．
故答案为：BQ=AN；

（2）①BQ=AN成立．
理由：如图2，连接AM，
∵在Rt△BAC中，M为斜边BC中点，
∴AM=BM，AM⊥BC，
∴∠AMQ+∠QMB=90°．
∵四边形PQMN为正方形，
∴MQ=NM，且∠QMN=90°，
∴∠AMQ+∠NMA=90°，
∴∠BMQ=∠AMN．
在△BMQ和△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MQ=MN}\\{∠BMQ=∠AMN}\\{BM=AM}\end{array}\right.$，
∴△BMQ≌△AMN（SAS），
∴BQ=AN；

②由①得，BQ=AN，
∴当BQ取得最大值时，AN取得最大值．
如图3，当旋转角θ=270°时，BQ=AN（最大），此时∠AMQ=90°．
∵BC=MN=6，M是BC的中点，
∴MQ=6，AM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴在Rt△AMQ中，由勾股定理得
AQ=$\sqrt{A{M}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．