题目内容

某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长 $数学公式$ ，坡度i=9：5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？

解：（1）∵i= $\text{[math]}$ ．
∴设BE=9k，AE=5k．（k为正数）
则在Rt△ABE中，∠BEA=90°，AB= $\text{[math]}$ ．
∴AB²=BE²+AE²．
即（ $\text{[math]}$ ）²=（9k）²+（5k）²．
解得：k= $\text{[math]}$ ．
∴BE=9× $\text{[math]}$ =22.5（m）．
故改造前坡顶与地面的距离BE的长为22.5米．

（2）由（1）得AE=12.5，设BF=xm，作FH⊥AD于H，则 $\text{[math]}$ =tan∠FAH．
由题意得 $\text{[math]}$ ≤tan45°．
即x≥10．
∴坡顶B沿BC至少削进10m，才能确保安全．
分析：（1）根据勾股定理和坡度公式可求得BE的长．
（2）由（1）得AE=12.5，设BF=xm．作FH⊥AD于H，则 $\text{[math]}$ =tan∠FAH．由题意得 $\text{[math]}$ ≤tan45°，解不等式即可求解．
点评：本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是熟记三角函数公式．