Question

5．已知：在△ABC中，点D为AB上一点，连接CD，∠ADC的平分线交AC于点E，过点E作CD、AB的平行线，分别交AB、CD、BC于点F、M、N．
（1）如图l，求证：四边形DFEM为菱形；
（2）如图2，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，连接DN、MF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括以DF为一边的平行四边形）．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形DFEM为平行四边形，然后再证明∠EDM=∠DEM，根据等角对等边可得ME=MD，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形DFEM为菱形；
（2）根据直角三角形的性质可得CD=DA=BD，根据等腰三角形的性质可得E为AC中点，N为BC中点，再根据三角形中位线定理可证明?CEDN，?BDEN，?EMFA，?CMFE，?AEND．

解答 （1）证明：∵EM∥AB，
∴∠DEM=∠EDF，
∵EF∥CD，
∴四边形DFEM为平行四边形，
∵∠ADC的平分线交AC于点E，
∴∠EDM=∠EDF，
∴∠EDM=∠DEM，
∴ME=MD，
∴四边形DFEM为菱形；

（2）除以DF为一边的平行四边形外的所有平行四边形分别是：?CEDN，?BDEN，?EMFA，?CMFE，?AEND．

点评 此题主要菱形的判定，以及三角形中位线定理和平行四边形的判定，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边．