Question

12．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm．
（1）判断平行四边形ABCD是矩形吗？说说你的理由；
（2）求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质求出OA=OB=AB，根据平行四边形性质推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可；
（2）求出AC长，根据勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式求出即可．

解答 （1）解：?ABCD是矩形，
理由是：∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．

（2）解：∵由（1）知OA=AB=4cm，AC=2OA=8cm，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面积是：AB×BC=4cm×4$\sqrt{3}$cm=16$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形性质，勾股定理，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．