Question

16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为2．

Answer 1

分析 作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON．

解答 解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=$2\sqrt{2}$，
∴AB=4+2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$+4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+2，CH=AC-AH=4$\sqrt{2}$+4-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+4，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴$\frac{ON}{MH}=\frac{OC}{CH}$，即$\frac{ON}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+4}$，
∴ON=2，
故答案为：2

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．