Question

2．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，且点A在第二象限，点A的横坐标为-1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，△ACB的面积为2．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若点P是这个反比例函数图象上的点，且△ACP的面积是4，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数和正比例函数的性质得点A与点B关于原点对称，则OA=OB，所以S_△ACO=$\frac{1}{2}$S_△ACB=1，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到k=-2，则反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$；然后利用反比例函数解析式确定A点坐标为（-1，2），再利用待定系数法确定正比例函数解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×2×|x+1|=4，解得x=3或x=-5，然后利用反比例函数解析式计算出自变量为3和-5的函数值，从而得到P点坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与正比例函数的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$S_△ACB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴$\frac{1}{2}$|k|=1，
而k＜0，
∴k=-2，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$；
把x=-1代入y=-$\frac{2}{x}$得y=2，
∴A点坐标为（-1，2），
设正比例函数解析式为y=ax，
把A（-1，2）代入得x=-2，
∴正比例函数解析式为y=-2x；

（2）设P点坐标为（x，y），
∵A点坐标为（-1，2），
∴AC=2，
∵△ACP的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$×2×|x+1|=4，解得x=3或x=-5，
当x=3时，y=-$\frac{2}{x}$=-$\frac{2}{3}$，此时P点坐标为（3，-$\frac{2}{3}$）；
当x=-5时，y=-$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{5}$，此时P点坐标为（-5，$\frac{2}{5}$），
综上所述，点P坐标为（3，-$\frac{2}{3}$）、（-5，$\frac{2}{5}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，利用待定系数法求解析式是解答此题的关键．