Question

15．已知：关于x的方程x²+（1-2t）x+t²=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求t的值；
（2）是否存在t，使方程的两个实数根的平方和等于7？若存在，请求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式建立方程，求得t的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于7，得到一个关于t的方程，求得t的值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+（1-2t）x+t²=0有两个相等的实数根，
∴△=（1-2t）²-4t²=0，
解得：t=$\frac{1}{4}$；

（2）设方程的两个实数根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=2t-1，x₁•x₂=t²，
令x₁²+x₂²=7得：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2t-1）²-2t²=7，
解这个方程得，t=3或m=-1，
当t=3时，△＜0，所以不合题意，应舍去，
当t=-1时，△＞0，
所以存在实数t=-1，使得方程的两个实数根的平方和等于7．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．