如图.二次函数y=$\frac{1}{4}$x2+m的图象经过点A.直线l经过抛物线的顶点B且与y轴垂直.设抛物线上有一动点P(a.b)从点A处出发沿抛物线向上运动.其纵坐标b随时间t(s)的变化关系为b=2t-$\frac{3}{4}$.以线段OP为直径作⊙C．(1)求该二次函数的表达式,(2)当点P在起始位置点A处时.试判断直线l与⊙C的位置关系.并说明理由:在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，二次函数y=$\frac{1}{4}$x²+m的图象经过点A（1，-$\frac{3}{4}$），直线l经过抛物线的顶点B且与y轴垂直，设抛物线上有一动点P（a，b）从点A处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标b随时间t（s）的变化关系为b=2t-$\frac{3}{4}$，以线段OP为直径作⊙C．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）当点P在起始位置点A处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由：在点P移动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．
（3）若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，移动速度为每秒3个单位长度，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a²的最大值．

分析（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）只要证明圆心C到直线l的距离等于圆的半径即可．
（3））①由（2）可知，若直线l与⊙C相切，则：2t-$\frac{5}{8}$=t+$\frac{5}{8}$，t=$\frac{5}{4}$；由此即可判断当0＜t＜$\frac{5}{4}$时，直线l与⊙C相交；
②因为0＜t＜$\frac{5}{4}$时，圆心C到直线l的距离为d=|2t-$\frac{5}{8}$|，又半径为r=t+$\frac{5}{8}$，所以a²=4（r²-d²）=4[（t+$\frac{5}{8}$）²-|2t-$\frac{5}{8}$|²]=-12t²+15t，根据二次函数的性质即可解决问题．

解答解：（1）将点A（1，-$\frac{3}{4}$）代入y=$\frac{1}{4}$x²+m中，得：
m=-1，
∴抛物线的解析式：y=$\frac{1}{4}$x²-1；

（2）结论：直线l与⊙C始终保持相切．
理由：将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：
$\frac{1}{4}$a²-1=-$\frac{3}{4}$+2t，a=$\sqrt{8t+1}$，
∴P（ $\sqrt{8t+1}$，-$\frac{3}{4}$+2t），
∴圆心C（ $\frac{\sqrt{8t+1}}{2}$，-$\frac{3}{8}$+t），
∴点C到直线l的距离：-$\frac{3}{8}$+t-（-1）=t+$\frac{5}{8}$；
而OP²=8t+1+（-$\frac{3}{4}$+2t）²，得OP=2t+$\frac{5}{4}$，半径OC=t+$\frac{5}{8}$；
∴直线l与⊙C始终保持相切．

（3）①由（1）可知，若直线l与⊙C相切，则：2t-$\frac{5}{8}$=t+$\frac{5}{8}$，t=$\frac{5}{4}$；
∴当0＜t＜$\frac{5}{4}$时，直线l与⊙C相交；
②∵0＜t＜$\frac{5}{4}$时，圆心C到直线l的距离为d=|2t-$\frac{5}{8}$|，又半径为r=t+$\frac{5}{8}$，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+$\frac{5}{8}$）²-|2t-$\frac{5}{8}$|²]=-12t²+15t，
∴t=$\frac{5}{8}$时，a的平方取得最大值为 $\frac{75}{16}$．