Question

13．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，DC上，且△BEF为等边三角形，下列结论：
①DE=DF；②∠AEB=75°；③BE=$\sqrt{2}$DE；④AE+FC=EF．
其中正确的结论个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据等腰直角三角形的性质可判断③的正误，根据线段垂直平分线的知识可以判断④的正误．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，
∵在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=CF，
∵AD=DC，
∴AD-AE=CD-CF，
∴DE=DF，
∴①正确；
∵DE=DF，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠BEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②正确；
∵BE=EF=$\sqrt{2}$DE，
∴③正确；
如图，连接BD，交EF于G点
∴BD⊥EF，且BD平分EF，
∵∠CBD≠∠DBF，
∴CF≠FG，
∴AE+FC≠EF．
∴④错误；
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，考本题中求证△ABE≌△BCF是解题的关键．