如图.点A1(2.2)在直线y=x上.过点A1作A1B1∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B1.以点A1为直角顶点.A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1.再过点C1作A2B2∥y轴.分别交直线y=x和y=$\frac{1}{2}$x于A2.B2两点.以点A2为直角顶点.A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2-.按此规律进行下去.则等腰直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，点A₁（2，2）在直线y=x上，过点A₁作A₁B₁∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，以点A₁为直角顶点，A₁B₁为直角边在A₁B₁的右侧作等腰直角△A₁B₁C₁，再过点C₁作A₂B₂∥y轴，分别交直线y=x和y=$\frac{1}{2}$x于A₂，B₂两点，以点A₂为直角顶点，A₂B₂为直角边在A₂B₂的右侧作等腰直角△A₂B₂C₂…，按此规律进行下去，则等腰直角△A_nB_nC_n的面积为$\frac{{3}^{2n-2}}{{2}^{2n-1}}$．（用含正整数n的代数式表示）

分析先根据点A₁的坐标以及A₁B₁∥y轴，求得B₁的坐标，进而得到A₁B₁的长以及△A₁B₁C₁面积，再根据A₂的坐标以及A₂B₂∥y轴，求得B₂的坐标，进而得到A₂B₂的长以及△A₂B₂C₂面积，最后根据根据变换规律，求得A_nB_n的长，进而得出△A_nB_nC_n的面积即可．

解答解：∵点A₁（2，2），A₁B₁∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，
∴B₁（2，1）
∴A₁B₁=2-1=1，即△A₁B₁C₁面积=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$；
∵A₁C₁=A₁B₁=1，
∴A₂（3，3），
又∵A₂B₂∥y轴，交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₂，
∴B₂（3，$\frac{3}{2}$），
∴A₂B₂=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，即△A₂B₂C₂面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{8}$；
以此类推，
A₃B₃=$\frac{9}{4}$，即△A₃B₃C₃面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{4}$）²=$\frac{81}{32}$；
A₄B₄=$\frac{27}{8}$，即△A₄B₄C₄面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{27}{8}$）²=$\frac{729}{128}$；
…
∴A_nB_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，即△A_nB_nC_n的面积=$\frac{1}{2}$×[（$\frac{3}{2}$）^n-1]²=$\frac{{3}^{2n-2}}{{2}^{2n-1}}$．
故答案为：$\frac{{3}^{2n-2}}{{2}^{2n-1}}$