Question

2．在线段AE上取一点B使AB＞BE，以AB、BE为边在AE同侧作正方形ABCD、BEFG，在AB上取AH=BE在BC的延长线上取K使CK=BE，联结DK、KF、DH、HF
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）利用第（1）题，证明勾股定理．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD，四边形BEFG是正方形，得到AD=AB=BC=CD，BE=EF=BG=GF，∠A=∠ABC=∠DCB=∠E=∠BGF=90°，根据全等三角形的性质得到DH=HF=DK=FK，于是得到结论；
（2）设AD=AB=BC=CD=a，BE=EF=BG=GF=b，DH=HF=DK=FK=c，根据图形的面积得到S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}=S_{正方形HFKD}，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD，四边形BEFG是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，BE=EF=BG=GF，∠A=∠ABC=∠DCB=∠E=∠BGF=90°，
∴∠DCK=∠KGF=90°，
∵AH=BE=CK，
∴AH=EF=GF=CK，BH=CG，
∴HE=GK=CD=AD，
在△ADH与△EHF与△CDK与△GKF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=EH=CD=GK}\\{∠A=∠E=∠DCK=∠FGK}\\{AH=BE=CK=GF}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△EHF≌△CDK≌△GKF，
∴DH=HF=DK=FK，
∴四边形FHKD为正方形；

（2）解：设AD=AB=BC=CD=a，BE=EF=BG=GF=b，DH=HF=DK=FK=c，
∵S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}-S_△ADH-S_△EFH=S_{正方形HFKD}-S_△DCK-S_△GFK，
∴S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}=S_{正方形HFKD}，
即a²+b²=c²．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理的字母，全等三角形的判断和性质，熟练正确正方形的性质是解题的关键．