Question

自然数x，y，z适合x²+12²=y²，x²+40²=z²，则x²+y²-z²=

 

．

Answer 1

分析：把所给的两个方程进行因式分解，判断可能的自然数解，找到符合2个方程的解，代入求值即可．

解答：解：由∵x²+12²=y²，
∴（y+x）（y-x）=144，
∴

y+x=72 y-x=2

；

y+x=36 y-x=4

；

y+x=18 y-x=8

；

y+x=24 y-x=6

；
解得

x=35 y=37

；

x=16 y=20

；

x=5 y=13

；

x=9 y=15

∵x²+40²=z²，
∴（z+x）（z-x）=1600；
∴

z+x=800 z-x=2

；

z+x=400 z-x=4

；

z+x=200 z-x=8

；

z+x=100 z-x=16

；

z+x=50 z-x=16

；

解得

x=399 z=401

；

x=198 z=202

；

x=96 z=104

；

x=42 z=58

；

x=9 z=41

∴同时满足的自然数x，y，z的只有x=9，y=15，z=41、
则x²+y²-z²=-1375．
故答案为-1375．

点评：考查二次方程的自然数解；把所给方程进行因式分解，得到未知数的可能值是解决本题的突破点．