Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于C点．
（1）则C点坐标为

 

，x₁•x₂=

 

；
（2）试判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）已知A（-1，0），P为线段BC上的一个动点，若以P为圆心，PC长为半径的圆与x轴相切于点Q，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令x=0求解即可得到点C的坐标，令y=0，利用根与系数的关系解答即可；
（2）根据（1）的结论得到

OA

OC

=

OC

OB

，然后根据两边对应成比例，夹角相等求出△AOC和△COB相似，再根据相似三角形对应角相等可得∠ACO=∠CBO，然后求出∠ACB=90°，从而得证；
（3）根据点A坐标求出点B坐标，从而得到OB，过点P作PD⊥OC于D，连接PQ，根据△CDP∽△COB，利用相似三角形对应边成比例求出DP=2CD，设CD=x，表示出DP=2x，利用勾股定理列式求出PC，即PQ，然后根据OC的长度列式求出x，再求解即可．

解答：（1）解：令x=0，则y=-2，
∴点C（0，-2），
令y=0，则

1

2

x²+bx-2=0，
整理得，x²+2bx-4=0，
∴x₁•x₂=-4；
故答案为：（0，-2），-4．

（2）证明：∵x₁•x₂=-4，
∴OA•OB=4，
又∵OC=2，
∴OA•OB=OC²，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（3）解：∵A（-1，0），
∴x₂=4，点B（4，0），
∴OB=4，
∵C（0，-2），
∴OC=2，
过点P作PD⊥OC于D，连接PQ，则PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴

CD

OC

=

DP

OB

，
即

CD

2

=

DP

4

，
∴DP=2CD，
设CD=x，则DP=2x，
由勾股定理得，PC=

CD2+DP2

=

x2+(2x)2

=

5

x，
∵⊙P与x轴相切，
∴PQ=OD=PC，
∴x+

5

x=2，
解得x=

2

5 +1

=

5 -1

2

，
∴PD=2x=

5

-1，
∴点Q（

5

-1，0）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求法，根与系数的关系，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，难点在于（3）根据OC的长度列出方程．