Question

如图在抛物线y=x（a-x）（a＞0）与x轴所围图形的内接矩形ABCD（边BC在x轴上）中，当矩形周长最大时，它的两边长AB=

 

，BC=

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：如图，设B（x，0），0＜x＜

a

2

，然后根据已知条件可以分别用x表示相等BC、AB的长度，接着就可以用x表示矩形ABCD的周长，最后利用二次函数的性质即可解决问题．

解答：解：如图所示：
矩形ABCD中，设B（x，0），0＜x＜

a

2

，
则C（a-x，0），
则BC=（a-x）-x=a-2x，AB=x（a-x），
∴矩形周长C=2[x（a-x）+（a-2x）]
=-2（x-

a-2

2

）²+

a2+4

2

，
当x=

a-2

2

时，即BC=a-2×

a-2

2

=2，AB=

a-2

2

（a-

a-2

2

）=

a2-4

4

时，周长最大．
故答案为：

a2-4

4

，2．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用交点坐标分别表示线段的长度，最后利用二次函数的最值求解．