Question

11．△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，∠A=16°；若一刀能把△ABC分成两个等腰三角形，则∠C的度数=90°或123°或116°或132°．

Answer 1

分析 在△ABC中构建一截线，满足把△ABC分成两个等腰三角形，分四种情况画图讨论：分别过顶点C和B，如图所示，分别求出∠C的度数．

解答 解：如图1，刀痕为BD时，
则CD=BC，AD=BD，
∴∠ABD=∠A=16°，∠CDB=∠CBD=32°
∴∠C=180°-32°-32°=116°
如图2，刀痕为CD时，
则AC=AD，CD=BD，
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-16°}{2}$=82°
∵∠B=∠BCD，∠ADC=∠B+∠BCD
∴∠B=∠BCD=41°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=82°+41°=123°
如图3，刀痕为BD时，
则CD=BC，AD=CD，
∴∠ACD=∠A=16°，∠CDB=∠CBD=32°，
∴∠BCD=180°-32°-32°=116°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=11°+16°=132°，
如图4，刀痕为CD时，
则CD=BD，AD=CD，
∴∠ACD=∠A=16°，∠CDB=32°，∠DCB=$\frac{180°-32°}{2}$=74°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=16°+74°=90°，
综上所述，则∠C的度数：90°或123°或116°或132°．
故答案为：90°或123°或116°或132°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角定理，熟练掌握等边对等角，等角对等边是本题的关键；明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．