在平面直角坐标系中.抛物线C1:y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$.把C1沿x轴向右平移m个单位长度.得抛物线C2.C1和C2的交点为点Q.顶点分别是O和P.(1)直接写出抛物线C2的函数解析式(含m).并求点Q的坐标(含m)．(2)定义:两条抛物线.把其中一条只通过沿水平方向向左平移得到另一条.且∠OQP=90°.这样的两条抛物线称为“和谐线．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，把C₁沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线C₂，C₁和C₂的交点为点Q，顶点分别是O和P，
（1）直接写出抛物线C₂的函数解析式（含m），并求点Q的坐标（含m）．
（2）定义：两条抛物线，把其中一条只通过沿水平方向向左（或向右）平移得到另一条，且∠OQP=90°，这样的两条抛物线称为“和谐线”．
①当C₁和C₂是和谐线时，求m的值；
②求抛物线y=-x²-2x+3的和谐线．

分析（1）根据图形左加右减，可得函数解析式，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得Q与P的关系，根据自变量与函数值的对应关系，可得Q点坐标；
（2）①根据两条抛物线，把其中一条只通过沿水平方向向左（或向右）平移得到另一条，且∠OQP=90°，这样的两条抛物线成为“和谐线”，可得△OPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
②根据两条抛物线，把其中一条只通过沿水平方向向左（或向右）平移得到另一条，且∠EQP=90°，这样的两条抛物线成为“和谐线”，可得△EPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）如图1，
把C₁沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，得抛物线C₂，得
C₂：y=$\frac{1}{2}$（x-m）²，
过Q作QG⊥x轴于G点，
由Q到对称轴的距离相等，得OG=PG=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$m．
当x=$\frac{m}{2}$时，y=$\frac{1}{8}$m²，即Q点的坐标为（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{8}$m²）；
（2）①如图2，
由∠OQP=90°，OQ=PQ，得
∠QOG=45°，OG=PG=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$m，
当x=$\frac{1}{2}$m时，y=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m）²=$\frac{{m}^{2}}{8}$，即Q（$\frac{1}{2}$m，$\frac{{m}^{2}}{8}$）．
由∠QOG=45°，∠OGQ=90°，得
OG=GQ，即|$\frac{1}{2}$m|=|$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m）²|，
解得m=0（舍）、m=±4，
m=-4时，抛物线向左平移，
m=4时，抛物线向右平移，
综上所述：当C₁和C₂是和谐线时，m的值为4或-4；
②如图3，
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，抛物线y=-x²-2x+3的和谐线y=-（x+1-m）²+4，
由△PEQ是等腰直角三角形，得
△PFQ是等腰直角三角形，即PF=FQ．
当x=-1+$\frac{m}{2}$时，y=-$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，即Q（-1+$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+4），
FQ=4-（-$\frac{{m}^{2}}{4}$+4）=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．解得m=2，m=0（舍），
抛物线y=-x²-2x+3的和谐线y=-（x-1）²+4，
同理向左平移，m=-2，
抛物线y=-x²-2x+3的和谐线y=-（x+3）²+4，
综上所述：抛物线y=-x²-2x+3的和谐线y=-（x-1）²+4或y=-（x+3）²+4．