题目内容
如图，O是正方形ABCD对角线的交点，Q是DC上任意一点，过点D作DE⊥AQ交BC于点P，求证：△OPQ是等腰直角三角形．考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：首先证明△OCP≌△ODQ，即可得到OP=OQ，且∠DOQ=∠POC，然后根据正方形的对角线互相垂直即可证得∠QOP=90°，从而证出△OPQ是等腰直角三角形．
解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ODQ=∠OCP，
在△OCP和△ODQ中，
，
∴△OCP≌△ODQ（SAS），
∴OP=OQ，且∠DOQ=∠POC
又∵∠DOC=90°，
∴∠QOP=90°，
则OP⊥OQ．
∴△OPQ是等腰直角三角形．
∴∠ODQ=∠OCP，
在△OCP和△ODQ中，
|
∴△OCP≌△ODQ（SAS），
∴OP=OQ，且∠DOQ=∠POC
又∵∠DOC=90°，
∴∠QOP=90°，
则OP⊥OQ．
∴△OPQ是等腰直角三角形．
点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确证明△OCP≌△ODQ是关键．
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