Question

14．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点P在AC上，∠PBC=45°，⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC都相切，则⊙O的半径是（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连结OA，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OD=OE=r，在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，在Rt△PBC中，利用等腰直角三角形的性质得PC=BC=1，则AP=AC-PC=$\sqrt{3}$-1，然后利用面积法得出方程，解方程即可．

解答 解：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连结OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O与AB，AC都相切，
∴OD=OE=r，
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴AB=2BC=2，AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°，
∴PC=BC=1，
∴AP=AC-PC=$\sqrt{3}$-1，
∵S_△PBC+S_△PAO+S_△AOB=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）×r+$\frac{1}{2}$×2×r=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$，
∴r=2-$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了三角形面积公式．